函数收敛和发散怎么判断 函数收敛和发散怎么判断

如何判断收敛还是发散

看n趋向无穷大时，Xn是否趋向一个常数，即可以判断收敛还是发散。

函数收敛和发散怎么判断 函数收敛和发散怎么判断

可是有时Xn比较复杂，并不好观察,加减的时候，把高阶的无穷小直接舍去如 1 + 1/n，用1来代替乘除的时候，用比较简单的等价无穷小来代替原来复杂的无穷小。

收敛函数一定有界，但是有界函数不一定收敛，如f(x)在x=0处f(0)=2，在其他x处f(x)=1，那么f(x)在x=0处就不是收敛的，那么f(x)就不是收敛函数，但是f(x)是有界的,因为1≤f(x)≤2。

扩展资料

基本公式：

1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=Sn-Sn-1。

2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

3、等差数列的前n项和公式：Sn=An^2+Bn Sn=na1+[n(n-1)]d/2 Sn=(a1+an)n/2。

当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。

4、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)。

5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)。

判断收敛和发散技巧

简单来说，有极限（极限不为无穷）就是收敛，没有极限（极限为无穷）就是发散。例如：f（x）=1/x，当x趋于无穷是极限为0，所以收敛。f（x）=x，当x趋于无穷是极限为无穷，即没有极限，所以发散。

含义

数列发散和数列收敛是相对的。收敛的意思是这样的：当数列an满足n→无穷，an→一定值。严格定义用到了ε-N语言，如果一个数列不满足这个条件，就是发散。

判断方法

步骤

（一）首先，拿到一个数项级数，我们先判断其是否满足收敛的必要条件：

若数项级数收敛，则n→+∞时，级数的一般项收敛于零。

（该必要条件一般用于验证级数发散，即一般项不收敛于零。）

（二）若满足其必要性。接下来，我们判断级数是否为正项级数：

若级数为正项级数，则我们可以用以下的三种判别方法来验证其是否收敛。（注：这三个判别法的前提必须是正项级数。）

（三）若不是正项级数，则接下来我们可以判断该级数是否为交错级数：

（四）若不是交错级数，我们可以再来判断其是否为绝对收敛的级数：

（五）如果既不是交错级数又不是正项级数，则对于这样的一般级数，我们可以用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法来判断。

三种判别法

1.比较原则；

2.比式判别法，（适用于含n！的级数）；

3.根式判别法，（适用于含n次方的级数）；

（注：一般能用比式判别法的级数都能用根式判别法）

高数判断收敛发散的方法总结

高数判断收敛发散的方法总结如下：

一、适用于正项级数的判别法

以下常值级数(数项级数)敛散性的判别法适用于正项级数，也适用于全部项都小于0的级数，只要提出一个负号即转换为正项级数，而级数的项乘以负1，级数的敛散性不发生变化. 另外，由于0不对级数的敛散性与和产生影响，因此，一般正项级数仅仅考虑大于0的项.

1、比较判别法

用比较判别法判定级数的敛散性需要有比较收敛或发散的级数，因此，对于常见级数，尤其是之前列出的几何级数、调和级数、p-级数以及和为e的阶乘级数的敛散性要记牢.

比较判别法有不等式形式和极限形式，具体结论参见下面列出的课件.

【注】一般依据通项结构寻找比较级数，比如通项中包含有n次方项，考虑几何级数比较；包好有n的幂级数结构或者n的有理式结构考虑p-级数（一般p值的选取为分母的最高次幂减去分子的最高次幂），有阶乘项可以考虑e的阶乘级数比较.

2、比值、根值判别法

比值、根值判别法只与级数本身的通项有关！当通项中包含有阶乘项一般考虑比值判别法，包含有n次方项考虑根值判别法，具体结论参见下面列出的课件.

【注1】当两种方法求出的极限都存在时，则极限值相等；当比值判别法极限不存在时，可以考虑根值判别法. 并且有比值法极限存在，则根值法极限一定存在并且相等；但根值法极限存在，比值法极限不一定存在！

【注2】特别注意：极限值等于1时，敛散性不确定！

二、变号级数敛散性的判定

1、交错级数

交错级数即正负项交替出现的级数，其收敛性判定首选方法为莱布尼兹判别法，即不包含符号的通项单调递减趋于0，则级数收敛.

2、一般变号级数

一般级数项加上绝对值后构成的绝对值级数收敛，则原级数收敛，并且称原级数绝对收敛，即绝对收敛一定收敛；绝对值级数发散，但原级数收敛，则称原级数条件收敛。

【注1】如果用比值、根值判别法直接判断一个级数对应的绝对值级数发散，则原级数一定发散，因为一般项不趋于0.

【注2】绝对收敛的级数符合加法的交换律和乘法的分配律，即绝对收敛的级数可以任意交换项相加其敛散性与和值不变，两个绝对收敛的级数相乘构成的级数仍然收敛，并且和就为两个级数的和的乘积.

注3】条件收敛的级数可以通过调整级数的项的前后次序收敛到任意指定的数. 即条件收敛的级数不符合加法交换律.

【注4】数值级数收敛性的判定给出了极限为零数列的一种证明与计算方法，即将数列视为级数的通项，如果能够判定级数收敛，则数列收敛并且极限值为0.

怎么判断函数和数列是收敛或发散的

看n趋向无穷大时，Xn是否趋向一个常数，即可以判断收敛还是发散。

可是有时Xn比较复杂，并不好观察,加减的时候，把高阶的无穷小直接舍去如

1

+

1/n，用1来代替乘除的时候，用比较简单的等价无穷小来代替原来复杂的无穷小。

拓展资料：

收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。

在数学分析中，与收敛（convergence)相对的概念就是发散(divergence)。

函数的定义：给定一个数集A，假设其中的元素为x。现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。假设B中的元素为y。则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。

高数收敛与发散的判别方法

一、

1.发散与收敛对于数列和函数来说，它就只是一个极限的概念，一般来说如果它们的通项的值在变量趋于无穷大时趋于某一个确定的值时这个数列或是函数就是收敛的，所以在判断是否是收敛的就只要求它们的极限就可以了.对于证明一个数列是收敛或是发散的只要运用书上的定理就可以了。

2.对于级数来说，它也是一个极限的概念，但不同的是这个极限是对级数的部分和来说的，在判断一个级数是否收敛只要根据书上的判别法就行了。

二、

1.收敛数列令为一个数列，且A为一个固定的实数，如果对于任意给出的b>0,存在一个正整数N，使得对于任意n>N,有|an-A|

2.收敛函数定义方式与数列的收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|

这里所谓的部分逆，准确的说是若M可和级数Σ，并且Σ满足一些附加条件，则Σ本来就是收敛的。但要是没有任何附加条件，这种结果说的.便是M只可和收敛级数（这使其作为发散级数的可和法而言是无用的）。

收敛级数映射到它的和的函数是线性的，从而根据哈恩-巴拿赫定理可以推出，这个函数能扩张成可和任意部分和有界的级数的可和法，这个事实一般并不怎么有用。

因为这样的扩张许多都是互不相容的，并且也由于这种算子的存在性证明诉诸于选择公理或它的等价形式，例如佐恩引理，所以它们还都是非构造的。

发散级数这一分支，作为分析学的领域，本质上关心的是明确而且自然的技巧，例如阿贝尔可和法、切萨罗可和法、波莱尔可和法以及相关对象。维纳陶伯型定理的出现标志着这一分支步入了新的阶段，它引出了傅里叶分析中巴拿赫代数与可和法间出乎意料的联系。

发散级数的求和作为数值技巧也与插值法和序列变换相关，这类技巧的例子有：帕德近似、Levin类序列变换以及与量子力学中高阶微扰论的重整化技巧相关的依序映射。

扩展资料 我们说可和法M是正则的，是指它对每个收敛级数求的和，均与其原本柯西意义下的和一致。这类结果被称为M的阿贝尔型定理，它以阿贝尔定理为原型。更有趣，并且通常也更微妙的是这个结果的部分逆，被称为陶伯型定理，它以陶伯证明的一个定理为原型。

这里所谓的部分逆，准确的说是若M可和级数Σ，并且Σ满足一些附加条件，则Σ本来就是收敛的。但要是没有任何附加条件，这种结果说的.便是M只可和收敛级数（这使其作为发散级数的可和法而言是无用的）。

收敛级数映射到它的和的函数是线性的，从而根据哈恩-巴拿赫定理可以推出，这个函数能扩张成可和任意部分和有界的级数的可和法，这个事实一般并不怎么有用。

因为这样的扩张许多都是互不相容的，并且也由于这种算子的存在性证明诉诸于选择公理或它的等价形式，例如佐恩引理，所以它们还都是非构造的。

发散级数这一分支，作为分析学的领域，本质上关心的是明确而且自然的技巧，例如阿贝尔可和法、切萨罗可和法、波莱尔可和法以及相关对象。维纳陶伯型定理的出现标志着这一分支步入了新的阶段，它引出了傅里叶分析中巴拿赫代数与可和法间出乎意料的联系。

发散级数的求和作为数值技巧也与插值法和序列变换相关，这类技巧的例子有：帕德近似、Levin类序列变换以及与量子力学中高阶微扰论的重整化技巧相关的依序映射。